基礎数学例

$y^{3} - 7 y - 6$

ステップ 1

有理根検定を用いて $y^{3} - 7 y - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

ステップ 1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

ステップ 1.3.3

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 7 - 6$

ステップ 1.3.4

$- 1$ と $7$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 1.3.5

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $y + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{y^{3} - 7 y - 6}{y + 1}$

ステップ 1.5

$y^{3} - 7 y - 6$ を $y + 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$7 y$

$6$

ステップ 1.5.2

被除数 $y^{3}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y^{2}$
	$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			+	$y^{3}$	+	$y^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{3} + y^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$

ステップ 1.5.7

被除数 $- y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					-	$y^{2}$	-	$y$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- y^{2} - y$ の符号をすべて変更します。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 6 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							-	$6 y$	-	$6$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 y - 6$ の符号をすべて変更します。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							+	$6 y$	+	$6$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							+	$6 y$	+	$6$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$y^{2} - y - 6$

ステップ 1.6

$y^{3} - 7 y - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(y + 1) (y^{2} - y - 6)$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $y^{2} - y - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - y - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y + 1) ((y - 3) (y + 2))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(y + 1) (y - 3) (y + 2)$

基礎数学 例

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